맥스웰 방정식(J=0인 공간에서의 전자기장)으로 빛(전자기파)의 속도 계산하기( μ → μ。ε → ε。)
1) ∇·E=ρ/ε 전하 밀도 ρ는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 발산한다.
2) ∇·B=0 자기장(B=μH)은 발산하지 않는다. 자기장은 회전한다.
3) ∇×E=-∂B/dt 자기장(B=μH)의 변화는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 회전한다.
자속밀도가 시간에 따라 변화하면 전기장은 공간에 따라 변화한다. 전기장이 공간에 따라 변화하면 전위차가 발생한다.
4) ∇×B=με(∂E/dt) 전기장(E)의 변화는 자기장(B=μH)을 만들고 그 자기장은 회전한다.
전기장이 시간에 따라 변화하면 자기장은 공간에 따라 변화한다.
3번식에 회전(∇×)을 취하면 ∇×(∇×E)=∇×(-∂B/dt)=-(∂/dt)(∇×B)=-(∂/dt)(με∂E/dt)=-με(∂²E/dt²)
4번식에 회전(∇×)을 취하면 ∇×(∇×B)=∇×(με∂E/dt)=με(∂/dt)(∇×E)=με(∂/dt)(-∂B/dt)=-με(∂²B/dt²) A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)이므로
∇×(∇×E)=∇(∇·E)-E(∇·∇)=∇(∇·E)-∇²E,
∇(∇·E)=0이므로 ∇×(∇×E)=-∇²E=-με(∂²E/dt²)
∇²E은 전기장(E)의 변화율의 발산이고, 전기장이 변화하면 그 전기장은 파동처럼 발산할 수 있고, 전기장의 변화가 없으면 발산도 없다는 의미이다.
∇×(∇×B)=∇(∇·B)-B(∇·∇)=∇(∇·B)-∇²B,
∇·B=0이므로 ∇×(∇×B)=-∇²B=-με(∂²B/dt²)
∇²B은 자기장(B=μH)의 변화율의 발산이고, 자기장이 변화하면 그 자기장은 파동처럼 발산할 수 있고, 자기장의 변화가 없으면 발산도 없다는 의미이다.
∇²E와 ∇²B로 전자기파의 존재를 알 수 있고 전자기파(빛)의 속도를 계산할 수 있다.
①파동 미분방정식 ∇²Ψ=(1/v²)(∂²Ψ/dt²) 공간에 대해 두번 미분한 것에 시간에 대해 두번 미분한 것을 빼준 형태이다.
②전기장 미분방정식 ∇²E=με(∂²E/dt²)
③자기장 미분방정식 ∇²B=με(∂²B/dt²)
전기장과 자기장의 미분방정식도 파동의 미분방정식이므로 ①②③식으로 전자기파(빛)의 속도를 구하면
(1/v²)=με 진공의 투자율 μ。= 4π × 10^-7 H/m, 진공의 유전율 ε。= 8.854 × 10^-12 F/m
v=(1/√με)=30만km/s
맥스웰 방정식의 미분형과 적분형
1) ∇·E=ρ/ε, ∮Eds=∫∇·Edv=∫(ρ/ε)dv=q/ε, ∇·D=ρ, ∮Dds=∫∇·Ddv=∫ρdv=q 전기장의 근원은 전하이다.
2) ∇·B=0, ∮Bds=∫∇·Bdv=0 자기장은 발산하지 않고 회전한다.
3) ∇×E=-∂B/dt, ∮Edr=∫∇×Eds= -(d/dt)∫Bds=-(dΦb/dt) 자기장의 변화는 전기장을 만들고, 그 전기장은 회전한다.
4) ∇×B=μJ+με(∂E/dt), ∮Bdr=∫∇×Bds=μ∫Jds+ με(d/dt)∫Eds=μＩ+ με(dΦe/dt)
∇×H=J+(∂D/dt), ∮Hdr=∫∇×Hds=∫Jds+(d/dt)∫Dds 전류와 전기장의 변화는 자기장을 만들고, 그 자기장은 회전한다.
E:전기장(V/m), H:자기장(A/m), D:전속밀도(C/m²), B:자속밀도(Wb/m²), ρ:전하밀도(C/m³), J:전류밀도(A/m²), D=εE, B=μH, ∮Eds=q/ε=Φe, ∮Dds=q, ∫Jds=Ｉ, ∫Bds=Φb, ∮Bdr=μＩ, ∮Hdr=Ｉ, Φb:자속, Φe:전속, q:전하량, 변위전류Id=(dq/dt)=ε(dΦe/dt)
전속 Φe=∮Eds=q/ε에서 ∮Eds는 구에서 폐곡면(구면)을 통과하는 전기력선(전속)이고, ∮Eds=q/ε에서 전속의 근원은 전하임을 알 수 있다. ∮Eds=q/ε은 폐곡면(구면)을 통과하는 총 전속은 그 내부의 총 전하와 같다는 것을 의미한다. ∮Eds=E∮ds 여기서 ∮ds는 구의 표면적이므로 반지름 r를 가진 구의 표면적은 4πr²이다. ∮Eds=E∮ds=E·4πr² 여기서 E=-∇V=-∇(kq/r)=-(-kq/r²)=kq/r²=q/(4πεr²)이므로 ∮Eds=E∮ds=q/(4πεr²)·4πr²=q/ε 여기서 q는 구 내부에 있는 총 전하이므로 이를 부피 적분으로 표현하면 전하 q는 전하 밀도 ρ에 대한 부피 적분으로 표현할 수 있다. q=∫ρdv 이므로 ∮Eds=1/ε·∫ρdv 발산 정리(가우스 정리)의 의해 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮Eds=∫∇·Edv=1/ε·∫ρdv 양변의 미소 부피 dv와 적분 ∫를 제거하면 ∇·E=ρ/ε 전기장 발산의 근원은 전하 밀도임을 알 수 있다. 나머지 맥스웰 방정식의 미분형도 같은 방법으로 적분형에서 얻을 수 있다.
1차원 파동 미분 방정식 (∂²y/dx²)-(1/v²)(∂²y/dt²)=0을 1차원 파동 방정식 y(x, t)=Acos(kx-ωt)로 유도(여기서 x는 공간, t는 시간을 의미하고, y는 공간과 시간의 함수이다.)
y(x, t)=Acos(kx-ωt)에서
∂y/∂x= -kAsin(kx-ωt), ∂²y/∂x²= -k²Acos(kx-ωt)=-k²y(x, t), y= -1/k²(∂²y/∂x²)
∂y/∂t= ωAsin(kx-ωt), ∂²y/∂t²= -ω²Acos(kx-ωt)=-ω²y(x, t), y= -1/ω²(∂²y/∂t²)
1/k²(∂²y/∂x²)=1/ω²(∂²y/∂t²), (∂²y/∂x²)=k²/ω²(∂²y/∂t²), (∂²y/∂x²)-k²/ω²(∂²y/∂t²)=0
k=2π/λ, ω=2πf, v=λf이므로 k²/ω²=(k/ω)² ={(2π/λ)/2πf}²=(1/v)²=1/v²
따라서 (∂²y/∂x²)-k²/ω²(∂²y/∂t²)=0은 (∂²y/∂x²)-1/v²(∂²y/∂t²)=0이다.
3차원 파동 방정식 y(r, t)=Acos(kr-ωt), 3차원 파동 미분방정식 ∇²Ψ=(1/v²)(∂²Ψ/dt²)
공간에 대해 두번 미분한 것에 시간에 대해 두번 미분한 것을 빼준 형태이다.
∇는 미분연산자[기울기(gradient)]를 말하며, 나블라(nabla) 또는 델(del)이라 부르고, 미분 가능한 함수 F(x,y,z)의 기울기(변화율) 또는 F로 주어진 함수의 기울기는 grad F=∇F=(∂F/∂x)i+(∂F/∂y)j+(∂F/∂z)k이고, ∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)=(∂/∂x)i+(∂/∂y)j+(∂/∂z)k이고, i, j, k는 x, y, z축방향의 단위벡터이고, 각 점에서의 기울기(변화율)를 벡터로 나타낸다. ∇F=grad F=함수 F의 기울기 ⇒ 벡터
예) 스칼라 함수 F=x+yz일 때, 점P(1,2,3)에서의 기울기는?
∇F=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)(x+yz)=[(∂/∂x)(x+yz),(∂/∂y)(x+yz),(∂/∂z)(x+yz)]=(1,z,y)=i+zj+yk=i+3j+2k
∇·는 발산(divergence)을 말하며, 미분 가능한 벡터 함수 F(x,y,z)의 발산 또는 F로 주어진 벡터장의 발산은 div F=∇·F=(∂F/∂x)+(∂F/∂y)+(∂F/∂z)이고, 발산은 어떤 점 P를 중심으로 얼마나 퍼져 나가는지를 스칼라로 나타낸다. 발산(∇·) 값이 양수이면 점 P에서 밖으로 퍼져 나가고, 음수이면 점 P로 들어오고, 0이면 나가는 만큼 들어온다. 발산(∇·) 값은 발산 원천(flow source)의 크기도 나타낸다. ∇·F=div F=벡터 함수 F의 발산 ⇒ 스칼라.
예) 벡터 함수 F=3x²i+yzj+zk일 때, 점P(1,2,3)에서의 발산 값은?
∇·F=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)·(3x²,yz,z)=(∂/∂x)(3x²)+(∂/∂y)(yz)+(∂/∂z)z=6x+z+1=6+3+1=10
∇×는 회전(curl)를 말하며, 미분 가능한 벡터 함수 F(x,y,z)의 회전 또는 F로 주어진 벡터장의 회전은 curl F=∇×F=[(∂Fz/∂y)-(∂Fy/∂z)]i-[(∂Fz/∂x)-(∂Fx/∂z)]j+[(∂Fy/∂x)-(∂Fx/∂y)]k이고, 벡터장에서 회전의 크기와 방향을 나타낸다. 회전(∇×) 값이 양수이면 반시계방향으로 회전하고, 음수이면 시계방향으로 회전하고, 회전하는 면과 수직인 법선방향(축방향)으로 소용돌이 원천(vortex source)이 있고, 회전(∇×) 값은 소용돌이 원천의 크기도 나타내고, 회전 값이 0이면 비회전이다.
예) 벡터 F=xyi+yzj+zak일 때, 점P(3,2,1)에서의 회전 값은?
∇×F = [(∂/∂x)i+(∂/∂y)j+(∂/∂z)k]×(xyi+yzj+zak) = [(∂zx/∂y)-(∂yz/∂z)]i-[(∂zx/∂x)-(∂xy/∂z)]j+[(∂yz/∂x)-(∂xy/∂y)]k = -yi-zj-xk = -2i-j-3k
스칼라 함수 F가 변화율(기울기)이 있으면 회전 값은 0이다(비회전,발산). curl(grad F)=∇×(∇F)=0
벡터 함수 F가 발산하고 있으면 회전 값은 0이다(비회전). curl(div F)=∇×(∇·F)=0
벡터 함수 F가 회전하고 있으면 발산 값은 0이다. div(curl F)=∇·(∇×F)=0
∇²=∇·∇는 기울기(변화율)의 발산(라플라시안)을 말하며, 2개의 미분연산자를 내적한 모양이고, 2번의 편미분한 결과이며, 벡터장에서 벡터가 밀집되어 있는 정도를 스칼라로 나타낸다. div(grad F)=∇·(∇F)=∇²F=(∂²F/∂x²)+(∂²F/∂y²)+(∂²F/∂z²), (∂²F/∂x²)=(∂/∂x)(∂F/∂x)
전위[V=k(q/r)]를 미분하면(전위 V의 기울기를 구하면) 전기장[E=k(q/r²)]이 되고, 전기장 E의 발산 또는 전위의 기울기(변화율)의 발산 또는 전위 V의 라플라시안은 체적전하밀도 ρ를 구할 수 있다. E=-∇V, ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V=ρ/ε, ∇²V=-ρ/ε
예) 전위 함수 V=3x²y+z일 때, 점(1,-1,1)에서 체적전하밀도 ρ[C/m³]의 값은?
프와송의 방정식 ∇²V=-(ρ/ε) ∇²V=(∂²V/∂x²)+(∂²V/∂y²)+(∂²V/∂z²)=6y=-6이므로 ρ=-ε(∇²V)=6ε[C/m³]
∮Eds=∫∇·Edv=q/ε 전기장 E의 면적분은 전기장 E의 발산의 체적적분과 같고 전하량 q을 구한다.
가우스의 정리는 면적분과 체적적분을 서로 바꿀 수 있는 방법을 말하고(∮Eds=∫∇·Edv)
스톡스의 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꿀 수 있는 방법을 말한다(∮Bdr=∫∇×Bds)
(전위, 전기장, 전하 밀도와 개념이 같은 중력 퍼텐셜, 중력장, 질량 밀도)
(W:일, F:중력, r:높이(거리), M:지구의 질량, m:단위 질량, g:중력 가속도, Φ:중력 포텐셜, G:중력상수, ρ:질량 밀도)
중력에 의한 위치에너지 -W=Fr=GMm/r=mgr=-mΦ, 중력 퍼텐셜 Φ=-gr=-W/m=-GM/r, 중력 가속도 g=F/m=GM/r², 중력 F=mg=GMm/r², 일 -W를 미분하면 중력 F가 되고(-∇W=F=GMm/r²), y=-1/x를 미분하면 y'=1/x²이므로 중력 퍼텐셜의 기울기(그라디언트) ∇V는 중력장(중력 가속도)이 되고(g=∇Φ=∇(-GM/r)=GM/r²), 중력장의 발산 ∇·g를 구하면 또는 중력 퍼텐셜의 라플라시안 ∇·g=∇·(∇Φ)=∇²Φ를 구하면 질량 밀도(ρ)를 알 수 있다.
∇·g=4πGρ 질량 밀도(ρ)는 중력장(중력 가속도)을 만들고, 그 중력장(중력 가속도)은 발산한다.
∇²g=∇·(∇g)=Δρ는 중력장(중력 가속도)의 변화율의 발산이고, 질량 밀도의 변화량은 중력장(중력 가속도)의 변화율를 만들고 중력파 발산을 추정할 수 있다.
∮gds=4πGM, ∫∇·gdv=4πG∫ρdv, ∇·g=4πGρ 중력장 g의 면적분은 중력장 g의 발산의 체적적분과 같고 질량 M을 구한다.
∮gds=4πGM에서 ∮gds은 구에서 닫힌 곡면을 통과하는 중력장 플럭스(flux,역선)이고 중력장 플럭스의 근원은 질량임을 알 수 있다.
∮gds=g∮ds 여기서 ∮ds는 구의 표면적이므로 반지름 r를 가진 구의 표면적은 4πr²이다. ∮gds=g∮ds=g·4πr² 여기서 g=GM/r²이므로 ∮gds=g∮ds=(GM/r²)·4πr²=4πGM 여기서 M은 구 내부에 있는 총 질량이므로 이를 부피 적분으로 표현하면 질량 M은 질량 밀도 ρ에 대한 부피 적분으로 표현할 수 있다. M=∫ρdv 이므로 ∮gds=4πG∫ρdv 발산 정리(가우스 정리)의 의해 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮gds=∫∇·gdv=4πG∫ρdv 양변의 미소 부피 dv와 적분 ∫를 제거하면 ∇·g=4πGρ 중력장 발산의 근원은 질량 밀도임을 알 수 있고, 중력 퍼텐셜 Φ를 이용하면 g=∇Φ를 이 식에 대입할 수 있다. ∇·(∇Φ)=4πGρ, ∇²Φ=4πGρ
g=GM/r²은 질량 M로부터 거리 r인 지점에서의 중력장(중력 가속도)의 크기를 나타내는 식으로 거리가 같으면 그 위치에서는 어느 점이나 중력장(중력 가속도)의 크기는 같다.
(W:일, F:전기력, r:거리, q':단위 전하, q:전하, E:전기장, V:전위, k:상수, ρ:전하량 밀도, ε:진공 유전율)
전기력에 의한 위치에너지(전기 퍼텐셜 에너지) W=Fr=kq'q/r=q'Er=q'V, 전위 V=Er=W/q'=kq/r, 전기장 E=F/q'=kq/r², 전기력 F=q'E=kq'q/r²
y=1/x를 미분하면 y'=-1/x²이므로 전위 V=kq/r의 그라디언트(∇V)는 전기장 E=-∇V=-∇(kq/r)=kq/r²가 되고, 전기장 E의 발산 ∇·E를 구하면, 또는 전위V의 라플라시안 ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V를 구하면 체적전하밀도 ρ를 알 수 있다. E=-∇V, ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V=ρ/ε, ∇²V=-ρ/ε
∇·E=ρ/ε 전하 밀도(ρ)는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 발산한다.
∇²E=∇·(∇E)=Δρ는 전기장의 변화율의 발산이고, 전하 밀도의 변화량은 전기장의 변화을 만들고 전기장파 발산을 추정할 수 있다.
∮Eds=∫∇·Edv=∫(ρ/ε)dv=q/ε, ∇·E=ρ/ε 전기장 E의 면적분은 전기장 E의 발산의 체적적분과 같고 전하 q를 구한다. ∮Eds은 구에서 닫힌 곡면을 통과하는 전기력선 수이고 전기력선의 근원은 전하임을 알 수 있다.
∮Eds=E∮ds=E·4πr²=q/ε, E=q/4πεr² 전하 q로부터 거리 r인 지점에서의 전기장(E)의 크기를 나타내는 식으로 거리가 같으면 그 위치에서는 어느 점이나 전기장의 크기는 같다.
가속도를 적분하면 속도가 되고 속도를 적분하면 거리가 된다.
변위r를 미분하면 속도v가 되고 속도를 미분하면 가속도a가 된다. ∇r=v, ∇v=a, ∇(∇r)=a
ν=s/t=rθ/t=rω, θ=s/r, ω=θ/t=2π/T=2πf, f=1/T, g=ν²/r=rω², F=GMm/r²=mg=mν²/r, ν²=GM/r(인공위성속도)
원주의 길이 s, 시간t, 반지름 r, 각도 θ, 속도 ν, 각속도 ω, 중력가속도 g, 주파수 f, 주기 T
F=dp/dt=m(dv/dt)=mg=GMm/r², g=r/t²=ν²/r=GM/r², GM=gr², E=Fr=GMm/r=1/2mv², v²=2GM/r (탈출속도)
r:반지름, v:속도, a:가속도, t:시간, p:운동량, m:질량, g:중력가속도, M:지구의 질량, G:중력상수, E:에너지, F:힘
수학에서 벡터장(vecter feild)을 물리에서는 벡터량이라고 한다.
발산(∇·) 값이 0이면 벡터량(ex.자기장)은 발산하지 않음을 나타내고, 해당영역에서 유입량과 유출량이 같다. 벡터량(ex.자기장)이 회전하고 있을 때 발산(∇·) 값은 0이다. ∇·(∇×B)=0
∇·B=0 자기장(B)은 발산하지 않는다. 자기장은 회전한다.
∮Bds=0 나가는 자기력선 수와 들어오는 자기력선 수는 같다. 자석은 홀극이 존재하지 않는다.
발산(∇·) 값이 양(＞0)이면 벡터량(ex.전기장)은 해당영역에서 유출되고 있음을 나타내고, 벡터량(ex.전기장)을 생성하게 하는 근원(source:양전하)이 있는 것이다.
∇·E=ρ/ε 전하량 밀도 ρ는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 발산한다. ∮Eds=∫∇·Edv=∫(ρ/ε)dv=q/ε ∮Eds=E∮ds=E4πr²=q/ε E=q/4πεr² 점전하 q로부터 거리 r인 지점에서의 전기장(E)의 크기를 나타내는 식으로 거리가 같으면 그 위치에서는 어느 점이나 전기장의 크기는 같다.
발산(∇·) 값이 음(＜0)이면 벡터량(ex.전기장)은 해당영역에 유입되고 있음을 나타내고, 벡터량(ex.전기장)을 소멸하게 하는 근원(source:음전하)이 있는 것이다.
회전(∇×) 값이 0이면 벡터량(ex.전기장)은 회전하지 않음을 나타낸다. 벡터량(ex.전기장)이 발산할 때 회전(∇×) 값은 0이다. ∇×(∇·E)=0
회전(∇×) 값이 양(＞0)이면 벡터량은 반시계방향으로 회전하고 있음을 나타내고, 법선방향(축방향)으로 소용돌이 근원(vortex source)이 있는 것이다.
∇×B=με∂E/dt 전기장(E)의 변화는 자기장을 만들고 그 자기장은 회전한다.
직선도선에 전류 Ｉ가 흐를 때 자기장(B)을 만들고 그 자기장은 회전하고 있으며, 거리 r인 지점에서의 자기장의 크기는 ∮Bdr=μＩ, ∮Bdr=B∮dr=2πr B=μＩ, B=(μＩ)/2πr=k(Ｉ/r)
회전(∇×) 값이 음(＜0)이면 백터량은 시계방향으로 회전하고 있음을 나타내고, 법선방향(축방향)으로 소용돌이 근원(vortex source)이 있는 것이다.
∇×E=-∂B/dt 자기장(B)의 변화는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 회전하고 있음을 나타낸다.
∇×V=2ω V속도로 원운동할 때 축방향의 각속도가 양(ω＞0)이면 반시계방향으로 회전하고 있음을 나타내고, 축방향의 각속도가 음(ω＜0)이면 시계방향으로 회전하고 있음을 나타낸다.
스칼라량 : 크리만 가지는 물리량(질량, 거리, 속력, 부피, 밀도, 일, 에너지 등)
벡터량 : 크기와 방향을 가지는 물리량(변위, 속도, 가속도, 힘, 전기장, 자기장, 운동량 등)
전기장 : 전기력이 미치는 공간
자기장 : 자기력이 미치는 공간
자속밀도(B) : 자기장에 수직인 단위 면적(1m²)을 지나는 자기력선의 수(Wb/m²=N/A·m=T)
진공의 투자율 μ。= 4π × 10^-7 H/m 진공의 유전율 ε。= 8.854 × 10^-12 F/m
예1) 2A의 전류가 흐르는 직선 도선으로부터 2m 떨어진 점에서의 자속밀도(B)는?
B=(μＩ)/2πr=k(Ｉ/r)=2 × 10^-7(2/2)=2 × 10^-7 Wb/m²
예2) 반경 1m의 원형 도선에 1A의 전류가 흐르고 있다. 원형 도선 중심에서의 자속밀도(B)는? B=k'(Ｉ/r)=2π × 10^-7(1/1)=2π × 10^-7 N/A·m
예3) +9C의 전하량으로부터 거리 3m 떨어진 점의 전기장의 세기(E)는?
전기장의 세기 E =q/4πεr²=k(q/ r²)=9 × 10^9(9/3²)=9 × 10^9 N/C