맥스웰 방정식의 미분형은 가우스의 정리와 스톡스의 정리를 이용하여 적분형에서 양변의 미소 부피 dv 또는 미소 면적 ds와 적분 ∫를 상쇄하여 얻을 수 있다.
맥스웰 방정식의 미분형과 적분형( μ → μ。ε → ε。)
1) ∇·E=ρ/ε, ∮Eds=∫∇·Edv=∫(ρ/ε)dv=q/ε 전기장 발산의 근원은 전하이다.
∇·D=ρ, ∮Dds=∫∇·Ddv=∫ρdv=q 전속(전기력선)의 근원은 전하이다.
2) ∇·B=0, ∮Bds=∫∇·Bdv=0 자기장은 발산하지 않고 회전한다.
3) ∇×E=-∂B/∂t, ∮Edr=∫∇×Eds= -(∂/∂t)∫Bds=-(∂Φb/∂t)
자기장의 변화는 전기장을 만들고, 그 전기장은 회전한다.
4) ∇×B=μJ+με(∂E/∂t), ∮Bdr=∫∇×Bds=μ∫Jds+ με(∂/∂t)∫Eds=μＩ+ με(∂Φe/∂t)
∇×H=J+(∂D/∂t), ∮Hdr=∫∇×Hds=∫Jds+(∂/∂t)∫Dds
전류와 전기장의 변화는 자기장을 만들고, 그 자기장은 회전한다.
E:전기장(V/m), H:자기장(A/m), D:전속밀도(C/m²), B:자속밀도(Wb/m²), ρ:전하밀도(C/m³), J:전류밀도(A/m²), D=εE, B=μH, ∮Eds=q/ε=Φe, ∮Dds=q, ∫Jds=Ｉ, ∫Bds=Φb, ∮Bdr=μＩ, ∮Hdr=Ｉ, Φb:자속, Φe:전속, q:전하, 변위전류 Id=(∂q/∂t)=ε(∂Φe/∂t), q=εΦe, 전류Ｉ=q/t, 진공의 투자율 μ。진공의 유전율 ε。
1) 전속 Φe=∮Eds=q/ε에서 ∮Eds는 구에서 폐곡면(구면)을 통과하는 전기력선(전속)이고, ∮Eds=q/ε에서 전속의 근원은 전하임을 알 수 있다. ∮Eds=q/ε은 폐곡면(구면)을 통과하는 총 전속은 그 내부의 총 전하와 같다는 것을 의미한다. ∮Eds=E∮ds 여기서 ∮ds는 구의 표면적이므로 반지름 r를 가진 구의 표면적은 4πr²이다. ∮Eds=E∮ds=E·4πr² 여기서 E=-∇V=-∇(kq/r)=-(-kq/r²)=kq/r²=q/(4πεr²)이므로 ∮Eds=E∮ds=q/(4πεr²)·4πr²=q/ε 여기서 q는 구 내부에 있는 총 전하이므로 이를 부피 적분으로 표현하면 전하 q는 전하 밀도 ρ에 대한 부피 적분으로 표현할 수 있다. q=∫ρdv 이므로 ∮Eds=1/ε·∫ρdv 발산 정리(가우스 정리)의 의해 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮Eds=∫∇·Edv=1/ε·∫ρdv 양변의 미소 부피 dv와 적분 ∫를 제거하면 ∇·E=ρ/ε 이것을 전기장에 대한 가우스의 법칙이라고 한다.
2) 자기장에 대한 가우스의 법칙 ∇·B=0에서 자기장 B의 발산 값이 0이라는 것은 발산하지 않고, 회전한다는 것을 의미한다. 즉, 자기장은 항상 폐곡선을 이루며 시작점과 끝점이 없다는 것을 나타낸다. 이는 자기 홀극이 존재하지 않는다는 것을 의미하며 자기장의 근원은 항상 N극과 S극이 쌍을 이루는 자석이라는 것을 의미한다. 자기 홀극이 존재하지 않으므로 폐곡면을 통과하는 자속 ∮Bds은 항상 0이다. 즉, 나가는 자기력선 수와 들어오는 자기력선 수가 항상 같아 0이다. 가우스 정리를 이용하여 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮Bds=∫∇·Bdv=0 여기서 ∫∇·Bdv=0은 ∇·B=0이어야 성립된다.
3) ∇×E=-∂B/∂t는 패러데이 유도 법칙을 미분 형태로 나타낸 것이고, 시간에 따라 변하는 자기장이 전기장을 유도하고 그 전기장은 회전한다는 것을 의미한다. 패러데이 유도 법칙은 폐곡선을 따라 전기장의 선적분은 폐곡선을 관통하는 자기력선(자속)의 시간 변화율의 음수와 같다. ∮Edr= -∂Φb/∂t 여기서 E는 전기장, dr은 폐곡선의 미소 길이, Φb은 폐곡선을 관통하는 자속이다. Φb=∫Bds이므로 ∮Edr= -(∂/∂t)∫Bds 여기서 ds는 폐곡선에 의해 둘러싸인 면의 미소 면적이고 스톡스의 정리를 이용하여 선적분을 면적분으로 바꾸면 ∮Edr=∫∇×Eds= -(∂/∂t)∫Bds 양변의 미소 면적 ds와 적분 ∫를 제거하면 미분형으로 나타낼 수 있다. ∇×E=-∂B/∂t
4) ∇×B=μJ+με(∂E/∂t)는 앙페르-맥스웰 법칙이라고 불리며, 전류와 시간에 따라 변하는 전기장이 자기장을 생성하고 그 자기장은 회전한다는 것을 의미한다. 앙페르 법칙은 폐곡선을 따라 자기장의 선적분이 폐곡선을 관통하는 전류에 비례한다는 것을 나타낸다. ∮Bdr=μＩ여기서 B는 자기장(자속밀도 B도 자기장이라 한다), dr은 폐곡선의 미소 길이, μ는 진공의 유전율, Ｉ는 폐곡선을 관통하는 전류이다. 맥스웰은 앙페르 법칙을 시간에 따라 변하는 전기장이 존재하는 경우에도 적용될 수 있도록 수정한다. 즉, 전류뿐만 아니라 시간에 따라 변하는 전기장도 자기장을 생성한다는 것이다. 이것을 변위 전류라고 한다. 변위 전류 Id와 변위 전류밀도 Jd는 다음과 같이 정의된다. Id=(∂q/∂t)=ε(∂Φe/∂t), Jd=ε(∂E/∂t) 앙페르 법칙에 변위 전류를 추가하면 다음과 같은 앙페르-맥스웰 법칙을 얻는다. ∮Bdr=μ(Ｉ+Id)=μ∫(J+Jd)ds 여기서 ds는 폐곡선에 의해 둘러싸인 면의 미소 면적이고 스톡스의 정리를 이용하여 선적분을 면적분으로 바꾸면 ∮Bdr=∫∇×Bds=μ∫(J+Jd)ds 양변의 미소 면적 ds와 적분 ∫를 제거하면 미분형으로 나타낼 수 있다. ∇×B=μ(J+Jd)=μJ+με(∂E/∂t)
직선도선에 전류 Ｉ가 흐르면 그 도선 주위에 자기장(B)이 생기고, 그 자기장은 오른 나사 방향으로 회전하며, 거리 r인 지점에서의 자기장의 크기는 ∮Bdr=μＩ, ∮Bdr=B∮dr=2πr B=μＩ, B=(μＩ)/2πr=k(Ｉ/r)=2π×10^-7(Ｉ/r) Wb/m²
가우스의 정리는 면적분과 체적적분을 서로 바꿀 수 있는 방법을 말하고(∮Eds=∫∇·Edv)
스톡스의 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꿀 수 있는 방법을 말한다(∮Bdr=∫∇×Bds)
1차원 파동 미분 방정식 (∂²y/dx²)-(1/v²)(∂²y/∂t²)=0을 1차원 파동 방정식 y(x, t)=Acos(kx-ωt)으로 유도(여기서 x는 공간, t는 시간을 의미하고, y는 공간과 시간의 함수이다.)
y(x, t)=Acos(kx-ωt)에서
∂y/∂x= -kAsin(kx-ωt), ∂²y/∂x²= -k²Acos(kx-ωt)=-k²y(x, t), y= -1/k²(∂²y/∂x²)
∂y/∂t= ωAsin(kx-ωt), ∂²y/∂t²= -ω²Acos(kx-ωt)=-ω²y(x, t), y= -1/ω²(∂²y/∂t²)
1/k²(∂²y/∂x²)=1/ω²(∂²y/∂t²), (∂²y/∂x²)=k²/ω²(∂²y/∂t²), (∂²y/∂x²)-k²/ω²(∂²y/∂t²)=0
k=2π/λ, ω=2πf, v=λf이므로 k²/ω²=(k/ω)² ={(2π/λ)/2πf}²=(1/v)²=1/v²
따라서 (∂²y/∂x²)-k²/ω²(∂²y/∂t²)=0은 (∂²y/∂x²)-1/v²(∂²y/∂t²)=0이다.
3차원 파동 방정식 y(r, t)=Acos(kr-ωt), 3차원 파동 미분방정식 ∇²Ψ=(1/v²)(∂²Ψ/∂t²)
공간에 대해 두번 미분한 것에 시간에 대해 두번 미분한 것을 빼준 형태이다.
∇×(∇×E)=∇×(-∂B/∂t)=-(∂/∂t)(∇×B)=-(∂/∂t)(με∂E/∂t)=-με(∂²E/∂t²)
J=0일 경우 ∇×(∇×B)=∇×(με∂E/∂t)=με(∂/∂t)(∇×E)=με(∂/∂t)(-∂B/∂t)=-με(∂²B/∂t²)
A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)이므로
∇×(∇×E)=∇(∇·E)-E(∇·∇)=∇(∇·E)-∇²E,
∇(∇·E)=0이므로 ∇×(∇×E)=-∇²E=-με(∂²E/∂t²)
∇×(∇×B)=∇(∇·B)-B(∇·∇)=∇(∇·B)-∇²B,
∇·B=0이므로 ∇×(∇×B)=-∇²B=-με(∂²B/∂t²)
∇²E와 ∇²B로 전자기파의 존재를 알 수 있고 전자기파(빛)의 속도를 계산할 수 있다.
①파동의 미분방정식 ∇²Ψ=(1/v²)(∂²Ψ/∂t²) 공간에 대해 두번 미분한 것에 시간에 대해 두번 미분한 것을 빼준 형태이다.
②전기장의 미분방정식 ∇²E=με(∂²E/∂t²)
③자기장의 미분방정식 ∇²B=με(∂²B/∂t²)
전기장과 자기장의 미분방정식도 파동의 미분방정식이므로 ①②③식으로 전자기파(빛)의 속도를 구하면
(1/v²)=με 진공의 투자율 μ。= 4π × 10^-7 H/m, 진공의 유전율 ε。= 8.854 × 10^-12 F/m
v=(1/√με)=30만km/s 여기서 진공의 투자율과 진공의 유전율은 불변하므로 아인슈타인은 이것을 바탕으로 특수 상대성 이론에서 빛의 속도는 불변하다고 말한다. 빛의 속도가 불변하므로 물체의 속도 v가 광속 c에 가까워질수록 시간은 늘어나고(시간 팽창), 물체의 이동방향 길이는 줄어든다(길이 수축). 이것을 식으로 나타내면 t'=t/√1-(v²/c²), L'=L√1-(v²/c²) 이 식은 물체의 속도 v가 광속 c에 가까워질수록 시간은 무한대에 수렴하고, 이동방향으로의 길이는 0에 수렴함을 의미한다. 만약 물체의 속도가 광속을 넘게 되면 그 값은 허수가 되어 물리적으로 아무런 의미를 갖지 못한다. 따라서 아인슈타인은 광속이 불변하므로 시간과 공간이 변한다고 생각했다.