중력 퍼텐셜 Φ=-GM/r, 중력 가속도 g=∇Φ=∇(-GM/r)=GM/r², 질량 밀도 ∇·g=∇·(∇Φ)=∇²Φ=4πGρ(뉴턴의 중력장에 대한 푸아송 방정식, 아래 굵은 글씨에 이 식을 자세히 유도함)
전위 V=kq/r, 전기장 E=-∇V=-∇(kq/r)=kq/r², 전하 밀도 ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V=ρ/ε,∇²V=-ρ/ε(푸아송 방정식, 아래 굵은 글씨에 이 식을 자세히 유도함)
중력장 플럭스(flux,역선) Φg=∮gds=4πGM에서 ∮gds는 구에서 폐곡면(구면)을 통과하는 중력장 플럭스(역선)이고, ∮gds=4πGM에서 중력장 플럭스의 근원은 질량임을 알 수 있다. ∮gds=4πGM은 폐곡면(구면)을 통과하는 총 중력장 플럭스(역선)는 그 내부의 총 질량과 같다는 것을 의미한다.
∮gds=g∮ds 여기서 ∮ds는 구의 표면적이므로 반지름 r를 가진 구의 표면적은 4πr²이다. ∮gds=g∮ds=g·4πr² 여기서 g=∇Φ=∇(-GM/r)=GM/r²이므로 ∮gds=g∮ds=(GM/r²)·4πr²=4πGM 여기서 M은 구 내부에 있는 총 질량이므로 이를 부피 적분으로 표현하면 질량 M은 질량 밀도 ρ에 대한 부피 적분으로 표현할 수 있다. M=∫ρdv 이므로 ∮gds=4πG∫ρdv 발산 정리(가우스 정리)의 의해 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮gds=∫∇·gdv=4πG∫ρdv 양변의 미소 부피 dv와 적분 ∫를 제거하면 ∇·g=4πGρ 중력장 발산의 근원은 질량 밀도임을 알 수 있고, 중력 퍼텐셜 Φ를 이용하면 g=∇Φ를 이 식에 대입할 수 있다. ∇·g=4πGρ, ∇·(∇Φ)=4πGρ, ∇²Φ=4πGρ(뉴턴의 중력장에 대한 푸아송 방정식)
중력장에 대한 가우스 법칙의 적분형은 ∮gds=4πGM이고, 중력장에 대한 가우스 법칙의 미분형은 ∇·g=4πGρ이다.
전기장 플럭스(전기력선) Φe=∮Eds=q/ε에서 ∮Eds는 구에서 폐곡면(구면)을 통과하는 전기장 플럭스(전기력선)이고, ∮Eds=q/ε에서 전기장 플럭스(전기력선)의 근원은 전하임을 알 수 있다. ∮Eds=q/ε은 폐곡면(구면)을 통과하는 총 전기장 플럭스(전기력선)는 그 내부의 총 전하와 같다는 것을 의미한다. ∮Eds=E∮ds 여기서 ∮ds는 구의 표면적이므로 반지름 r를 가진 구의 표면적은 4πr²이다. ∮Eds=E∮ds=E·4πr² 여기서 E=-∇V=-∇(kq/r)=-(-kq/r²)=kq/r²=q/(4πεr²)이므로 ∮Eds=E∮ds=q/(4πεr²)·4πr²=q/ε 여기서 q는 구 내부에 있는 총 전하이므로 이를 부피 적분으로 표현하면 전하 q는 전하 밀도 ρ에 대한 부피 적분으로 표현할 수 있다. q=∫ρdv 이므로 ∮Eds=1/ε·∫ρdv 발산 정리(가우스 정리)의 의해 면적분을 체적적분으로 바꾸면 ∮Eds=∫∇·Edv=1/ε·∫ρdv 양변의 미소 부피 dv와 적분 ∫를 제거하면 ∇·E=ρ/ε 전기장 발산의 근원은 전하 밀도임을 알 수 있고, 전기 퍼텐셜(전위)을 이용하면 E=-∇V를 이 식에 대입할 수 있다. ∇·E=ρ/ε, ∇·(-∇V)=ρ/ε, -∇²P=ρ/ε, ∇²P= -ρ/ε(푸아송 방정식)
전기장에 대한 가우스 법칙의 적분형은 ∮Eds=q/ε이고, 전기장에 대한 가우스 법칙의 미분형은 ∇·E=ρ/ε이다.
중력장에서 전위(electrical potential)와 같은 개념은 중력 퍼텐셜(gravitational potential)이다. 전위가 전기장 내에서 단위 전하가 가지는 퍼텐셜(위치) 에너지를 나타내는 것처럼 중력 퍼텐셜은 중력장 내에서 단위 질량이 가지는 퍼텐셜(위치) 에너지를 나타낸다. 어떤 점에서의 중력 퍼텐셜은 단위 질량이 그 점에서 무한대 거리로 이동할 때 필요한 일의 양을 의미한다. 수식으로 표현하면 중력 퍼텐셜 Φ는 다음과 같다. Φ= -GM/r. 여기서 r은 지구 중심에서의 거리이므로 지표면에서 멀어질수록 r이 증가하여 중력 퍼텐셜 Φ는 증가하면서 0에 가까워지지만 여전히 음수이고 절대값은 작아진다. 따라서 지표면에서 멀어질수록 중력 퍼텐셜 Φ는 증가하지만 이는 음수에서 0으로 다가가는 것이므로 절대값은 감소하는 것이다. 중력 퍼텐셜 에너지는 두 물체가 무한히 멀리 떨어져 있을 때 즉 r→∝일 때 0으로 정의된다. 이때 중력 퍼텐셜 에너지가 0이 되는 것은 상호작용이 없는 상태를 의미한다. 물체가 지표면에 가까워지면 중력이 작용하여 끌어당기기 때문에 퍼텐셜 에너지가 감소한다. 이 감소된 에너지를 음의 부호로 표현한다. 물체가 지구 표면에 가까워질수록 퍼텐셜 에너지는 작아지면서 음수의 절대값이 커지고, 이는 물체가 중력에 의해 서로 끌어당기고 있음을 나타낸다. 중력은 척력이 없고 항상 인력으로 작용한다. 물체가 지표면에 가까워질수록 중력의 인력이 강해지고 퍼텐셜 에너지가 작아진다. 물체가 지구에서 멀어질수록 중력의 인력은 약해지고, 퍼텐셜 에너지는 커지면서 0에 가까워지지만 여전히 음수이다.
중력장에서 낮은 곳에 있는 물체를 높이 r만큼 이동시키려면 중력(mg)에 거스려서(저항하여) 일을 해주어야 한다. 이 때 해준 일(W)은 물체의 위치에너지(mgr)로 저장되고 다시 원래의 낮은 곳으로 이동할 때 중력이 물체에 일을 하게 된다(W:일 또는 에너지, F:중력, r:높이(거리,반지름), M:지구의 질량, m:단위 질량, g:중력 가속도, Φ:중력 퍼텐셜, G:중력상수, ρ:질량 밀도).
물체의 위치에너지(중력 퍼텐셜 에너지) -W=Fr=GMm/r=mgr=-mΦ, 중력 퍼텐셜 Φ=-gr=-W/m=-GM/r, 중력 가속도 g=F/m=GM/r², 중력 F=mg=GMm/r², 중력 퍼텐셜 Φ는 중력 퍼텐셜 에너지 W와 다르다. 중력 퍼텐셜 Φ는 중력 퍼텐셜 에너지 W를 운동하는 물체의 질량 m으로 나눈 값이다. 운동하는 물체의 질량 m이 단위 질량(1)이라면 그 때만 중력 퍼텐셜 Φ는 중력 페텐셜 에너지 W와 같다. 에너지가 (-)의 값을 갖는 것은 기준점까지 가져오는데 외부에서 일을 해주어야 한다는 것이고, 일과 에너지의 단위는 같다.
일 -W를 미분하면 중력 F가 되고(-∇W=F=GMm/r²), 중력 퍼텐셜의 기울기(그라디언트) ∇Φ는 중력장(중력 가속도)이 되고(g=∇Φ=∇(-GM/r)=GM/r²), 중력장의 발산 ∇·g를 구하면 또는 중력 퍼텐셜의 라플라시안 ∇·g=∇·(∇Φ)=∇²Φ를 구하면 질량 밀도(ρ)를 알 수 있다.
중력 가속도 g=∇Φ=∇(-GM/r)=GM/r²에서 ∇Φ는 r이 증가하면 Φ도 증가하지만 Φ의 기울기(그라디언트) g는 감소한다는 것을 의미한다. y=-1/x를 미분하면 y'=1/x²이 되는 것과 같다. 여기서 x가 증가하면 y도 증가하지만 y'는 감소하고 -y'는 증가한다. 중력 가속도가 항상 중력 퍼텐셜이 낮은 방향, 즉 큰 질량이 있는 물체(지구와 같은 큰 질량) 쪽으로 향함을 나타낸다. 중력 퍼텐셜 Φ는 거리 r이 증가할수록(즉, 지구 표면에서 멀어질수록) 절대값이 줄어들고 0에 가까워지기 때문에 중력 퍼텐셜 Φ는 멀리 갈수록 커지지만 여전히 음수이다. 중력 가속도는 중력 퍼텐셜이 가장 급하게 감소하는 방향으로 작용하며 항상 지구 중심 방향으로 끌어당기는 힘이다. 중력은 항상 물체를 끌어당기는 방향으로 작용함을 의미한다. 중력장은 퍼텐셜이 증가하는 방향으로 작용하는 것이 아니라 퍼텐셜이 감소하는 방향으로 작용하는 것이다. 중력은 항상 물체를 끌어당기며, 이는 중력 퍼텐셜이 낮아지는 방향(중심 쪽)으로 가속도를 발생시킨다. 따라서 중력가속도는 지표면에 가까울수록 커지고, 지표면에서 멀어질수록 작아진다. 중력 퍼텐셜 -GM/r의 음의 부호는 이 물리적 사실을 수학적으로 표현한 것이다.
질량 밀도 ∇·g=∇·(∇Φ)=∇²Φ=4πGρ(뉴턴의 중력장에 대한 푸아송 방정식)
중력 가속도의 발산 값으로 또는 중력 퍼텐셜의 기울기(그라이언트)의 발산 값으로 또는 중력 퍼텐셜의 라플라시안 값으로 질량 밀도를 구할 수 있다. ∇²Φ=4πGρ(중력장에 대한 푸아송 방정식)는 중력장(중력 가속도) 발산의 근원은 질량 밀도임을 나타내고, 이 방정식으로 중력 퍼텐셜과 중력장을 구할 수 있다. ∇²Φ=4πGρ는 ∇·g와 g=∇Φ에서 나왔으므로 질량 밀도 ρ가 있는 곳에서 중력 퍼텐셜이 감소한다는 것을 의미하며, 질량 밀도 ρ는 그 공간에 있는 질량의 양을 나타내고, 질량 밀도가 클수록 그 주위 공간에서 중력 퍼텐셜은 더 빠르게 감소하여 음수의 절대값은 커지고, 이로 인해 중력이 더 강하게 작용한다.
∇·g=4πGρ 질량 밀도(ρ)는 중력장(중력 가속도)을 만들고, 그 중력장(중력 가속도)은 발산한다.
∇²g=∇·(∇g)=Δρ는 중력장(중력 가속도)의 변화율의 발산이고, 질량 밀도의 변화량은 중력장(중력 가속도)의 변화율를 만들고 중력파 발산을 추정할 수 있다.
∮gds=4πGM, ∫∇·gdv=4πG∫ρdv, ∇·g=4πGρ 중력장 g의 면적분은 중력장 g의 발산의 체적적분과 같고 질량 M을 구한다.
g=GM/r²은 질량 M로부터 거리 r인 지점에서의 중력장(중력 가속도)의 크기를 나타내는 식으로 거리가 같으면 그 위치에서는 어느 점이나 중력장(중력 가속도)의 크기는 같다.
전기장에서 단위 전하 q'를 전기장과 반대 방향으로 거리 r만큼 이동시키려면 전기력(q'E)에 거스려서 일을 해주어야 한다. 단위 전하 q'를 거리 r만큼 이동시킬 때 외부에서 한 일(W)만큼 단위 전하 q'는 전기력에 의한 위치에너지(q'Er)를 갖게 된다. 이것은 q인 전하에서 거리가 r인 점까지 무한 원(전위 0)에서 q'인 전하를 가져오는데 필요한 일이다.(W:일 또는 에너지, F:전기력, r:거리, q':단위 전하, q:전하, E:전기장, V:전위, k:상수, ρ:전하량 밀도, ε:진공 유전율)
전기력에 의한 위치에너지(전기 퍼텐셜 에너지) W=Fr=kq'q/r=q'Er=q'V, 전위 V=Er=W/q'=kq/r, 전기장 E=F/q'=kq/r², 전기력 F=q'E=kq'q/r²
y=1/x를 미분하면 y'=-1/x²이므로 전위 V=kq/r의 음의 그라디언트(-∇V)는 전기장 E=-∇V=-∇(kq/r)= -(-kq/r²)=kq/r²가 되고, 전기장 E의 발산 ∇·E를 구하면, 또는 전위V의 라플라시안 ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V를 구하면 체적전하밀도 ρ를 알 수 있다. E=-∇V, ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V=ρ/ε, ∇²V=-ρ/ε
중력은 항상 인력이므로 중력 퍼텐셜에 음의 부호가 붙어야 하지만 전기력은 전하의 부호에 따라 인력과 척력 모두 포함하므로 전위가 양전하 또는 음전하에 따라 달라진다. q가 양전하이면 V= kq/r이므로 양전하에서 거리 r이 작을수록 전위 V가 커지고, r이 클수록 전위 V가 작아지지만, q가 음전하이면 V= -kq/r이므로 음전하에서 거리 r이 작을수록 전위 V가 작아지고, r이 클수록 전위 V가 커진다. 전하의 부호가 전위의 부호를 결정하기 때문에 전위 V=kq/r에서 음의 부호가 필요하지 않다.
전기장 E= -∇V= -∇(kq/r)= -(-kq/r²)=kq/r²
전기장 E=-∇V에서 음의 부호가 붙은 이유는 전기장이 전위의 기울기와 반대방향으로 작용하기 때문이다. 전위 V는 전하 주위에서의 전기적 위치에너지를 나타내고, 높은 전위에서 낮은 전위로 전기력이 작용하여 양전하가 이동한다. 양전하는 전기장에서 항상 높은 전위에서 낮은 전위로 이동한다. 전기장은 항상 전위가 감소하는 방향으로 힘을 작용한다. 전위의 기울기 ∇V=∇(kq/r)=-kq/r²는 항상 전위가 증가하는 방향을 나타내기 때문에 전기장의 방향은 그 반대 방향이므로 음의 부호가 붙는다. 만약 전위가 어떤 위치에서 10V이고, 다른 위치에서 5V라고 할 때, 전기력이 작용하여 양전하가 높은 전위 10V에서 낮은 전위 5V로 이동한다. 이때 전기장은 전위가 낮아지는 방향, 즉 전위 기울기의 반대 방향으로 작용한다. 따라서 전기장 E=-∇V에서 음의 부호가 붙는 이유는 전기장이 항상 전위가 감소하는 방향으로 작용하기 때문이다. 양전하에 가까울수록 전기장은 강해지고 전위는 높아지고, 양전하에서 멀어질수록 전기장은 약해지고 전위는 낮아진다. 음전하에 가까울수록 전기장은 강해지고 전위는 낮아지고, 음전하에서 멀어질수록 전기장은 약해지고 전위는 상대적으로 높아진다. 음전하 주변에서는 전위가 음의 값으로 낮아지고, 멀어질수록 전위는 0에 가까워지면서 더 높은(덜 음의) 값이 된다. -5 N/C와 -2 N/C를 비교할 때 -5 N/C가 절대값이 더 크므로 더 강한 전기장을 나타내고, 5 N/C와 -5 N/C를 비교할 때 절대값이 같으므로 전기장의 세기는 같지만 전기장은 항상 전위가 감소하는 방향으로( -2 N/C에서 -5 N/C로, 5 N/C에서 -5 N/C로) 작용한다.
체적 전하 밀도 ∇·E=∇·(-∇V)=-∇²V=ρ/ε, ∇²V=-ρ/ε(푸아송 방정식)
전기장의 발산 값으로 또는 전위의 음의 기울기(그라디언트)의 발산 값으로 또는 전위의 라플라시안 값으로 체적 전하 밀도 ρ를 알 수 있다. ∇²V=-ρ/ε(포아송 방정식)은 전기장의 근원은 전하임을 나타내고,이 방정식으로 전위와 전기장을 구할 수 있다. ∇²V=-ρ/ε에서 음의 부호는 체적 전하 밀도가 있는 곳에서 전위가 감소한다는 것을 의미한다. ∇²V은 전위가 공간에서 어떻게 변화하는지를 나타낸다. 만약 공간의 특정 위치에 전하 밀도 ρ가 존재하면 그 위치에서는 전위 V가 변하게 된다. 음의 부호는 전하 밀도가 있을 때 전위가 해당 위치에서 감소함을 나타내고, 이 변화는 전하의 종류(양전하 또는 음전하)에 따라 전위가 감소하는 방향이 다르다. 양전하는 주변에 양의 전위를 형성하고, 음전하는 주변에 음의 전위를 형성한다. 전기력은 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 전하를 밀거나 당긴다. 음의 부호는 이 전위의 변화가 전하의 종류와 상관없이 전하에 의한 힘이 전위가 낮은 쪽으로 작용한다는 것을 나타낸다. 전하 밀도가 클수록 전위는 더 빠르게 감소하여 절대값이 커지게 된다.
∇·E=ρ/ε 전하 밀도(ρ)는 전기장(E)을 만들고 그 전기장은 발산한다.
∇²E=∇·(∇E)=Δρ는 전기장의 변화율의 발산이고, 전하 밀도의 변화량은 전기장의 변화을 만들고 전기장파 발산을 추정할 수 있다.
∮Eds=∫∇·Edv=∫(ρ/ε)dv=q/ε, ∇·E=ρ/ε 전기장 E의 면적분은 전기장 E의 발산의 체적적분과 같고 전하 q를 구한다.
∮Eds=E∮ds=E·4πr²=q/ε, E=q/4πεr² 전하 q로부터 거리 r인 지점에서의 전기장(E)의 크기를 나타내는 식으로 거리가 같으면 그 위치에서는 어느 점이나 전기장의 크기는 같다. 점전하 q에서 방사형으로 퍼져나가는 전기장은 구면상의 모든 지점에서 동일한 크기를 가지며, 구의 표면에 수직하게 작용한다.
중력장은 중력이 미치는 공간이고 중력 가속도와 같은 의미이다.
전기장은 전기력이 미치는 공간이다.
가우스의 정리는 면적분과 체적적분을 서로 바꿀 수 있는 방법을 말한다(∮Eds=∫∇·Edv).
∇²=∇·∇=(∂²/∂x²)+(∂²/∂y²)+(∂²/∂z²)는 기울기(변화율)의 발산(라플라시안)을 말하며, 2개의 미분연산자를 내적한 모양이고, 2번의 편미분한 결과이며, 벡터장에서 벡터가 밀집되어 있는 정도를 스칼라로 나타낸다.
∇·는 발산(divergence)을 말하며, 발산은 어떤 점 P를 중심으로 얼마나 퍼져 나가는지를 스칼라로 나타낸다. 발산(∇·) 값이 양수이면 점 P에서 밖으로 퍼져 나가고, 음수이면 점 P로 들어오고, 0이면 나가는 만큼 들어온다. 발산(∇·) 값은 발산 원천(flow source)의 크기도 나타낸다.
∇는 미분연산자[기울기(gradient)]를 말하며, 나블라(nabla) 또는 델(del)이라 부르고, 편미분한 결과로 각 점에서의 기울기(변화율)를 벡터로 나타낸다.